浅谈雅可比(Jacoobi)行列式

雅可比行列式常应用于重积分的计算,对化简积分有着重大的作用,建议大家学习一下。

我们在计算重积分的时候,一般微分算子都是

或者

很多人以为这些微分算子之间是乘法运算,其实并不是。他们之间是一种楔形积的运算,记作^,因此:

或者

是他们的严格写法。

楔形积简单来说,它的运算类似于向量的叉积,因此满足以下性质:


因此,如果


那么


那么


我们把


叫做雅可比行列式(Jacobian),它的值取绝对值,因此恒大于0.

在积分的计算中有什么应用呢?最主要的应用就是换元。

比如要计算

那么要是我们找到了:


那么就可以把这个积分写成:

比如极坐标的积分变换:


我们发现$x$和$y$都是关于$r$和$\theta$的二元函数,因此:


所以:

这就是极坐标积分变换的由来。

我们也可以把这个结论拓展到三维情况,这个交给读者自行推导,这里给出结论:


那么

其中

通过三维的楔形积,可以推导出柱坐标和球坐标的积分变换,这里举柱坐标的例子:


计算雅可比行列式


因此:

我们做一次降维打击,如果是一维的话会怎么样呢?

其实一维情况下正是我们在积分学到的两类换元法,本质其实就是:

那么

最后,我们来看道竞赛题:

(2016年数竞 · 非数学类)某物体所在的空间区域为$\Omega={(x,y,z)\ |\ x^2+y^2+2z^2\le x+y+2z }$,密度函数为$x^2+y^2+z^2$,求质量$M=\iiint_\Omega\ (x^2+y^2+z^2)dxdydz$。

乍一看一头雾水,但注意观察$\Omega$,可以变形:

即:

即:

那么,令:


即:


然后用雅可比行列式换元:


变换的空间区域为:

这样积分就化为:


我们分三个部分计算,首先从常数算起

由于$\Omega’$是球域,那么$V=\frac{4\pi}{3}$,故:

然后是一次项,很巧的是,由于$\Omega’$是个对称的区域,并且一次项的变量为奇函数,根据对称性可以知道这一部分积分为0:

最后是二次项,$\Omega’$是个球域,满足轮换对称性,也就是:


由球坐标换元,可以得到:

代入原式得到:

s
故质量:

Author

InverseDa

Posted on

2020-10-21

Updated on

2023-03-30

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